Для стационарной работы управляемого термоядерного реактора необходимо поддержание в нем безындукционного тороидального электрического тока. Одним из наиболее эффективных и экспериментально исследованных способов генерации тока является метод, основанный на вводе в плазму нижнегибридных волн, то есть косых ленгмюровских волн с частотами, в несколько раз превышающими центральную нижнегибридную.
В основе механизма создания тока этими волнами лежит передача продольного (параллельного магнитному полю) импульса волны надтепловым электронам плазмы за счет бесстолкновительного затухания Ландау. При этом условием резонансного взаимодействия волны с электронами является близость её фазовой скорости (которая равна , где - продольная составляющая показателя преломления волны) к скорости электронов. Анализ кинетического уравнения показывает, что такое взаимодействие должно приводить к образованию плато на функции распределения электронов, границы которого зависят от спектра продольных замедлений присутствующих в плазме нижнегибридных волн [1,2]. Обычно, нижнегибридные волны вводят в плазму с помощью системы сфазированных волноводов - грилла, позволяющего возбуждать волны необходимой поляризации с требуемым спектром [3].
Предположение о постоянстве функции распределения в области плато позволяет легко найти эффективность генерации тока, которую обычно определяют как , где - величина генерируемого тока в Ма, - вкладываемой мощности в МВт, плотность плазмы в единицах , a - большой радиус токамака в метрах. Простые оценки дают [4]
где - соответственно нижняя и верхняя граница спектра продольных замедлений, а - кулоновский логарифм. Существенно, что эффективность тем больше, чем меньшие присутствуют в спектре нижнегибридных волн в плазме. Нижняя граница допустимых значений связана с критерием Голанта-Стикса [5], определяющем минимальное при котором происходит трансформация волны в быструю моду.
Уточнению выражения для эффективности генерации тока было посвящено множество работ. При этом использовались как аналитические оценки, так и численное решение кинетического уравнения. Среди факторов, оказывающих достаточно существенное влияние по сравнению с простой одномерной моделью можно отметить двухмерность интеграла столкновений [6], релятивисткие эффекты [7], уменьшение числа носителей тока из-за захвата достаточно замедлившихся вследствии столкновений электронов на банановые орбиты [8,9], пространственную диффузию быстрых частиц из-за разрушения магнитных поверхностей [10,11], нестационарность условий, то есть наличие остаточного вихревого электрического поля [12-14]. В целом, при учете всех этих факторов, общий вывод остается вполне благоприятным - нижнегибридные волны должны быть весьма эффективным средством поддержания стационарного тока.
Большое количество экспериментов на различных токамаках в целом подтверждают описанную грубую теоретическую модель. Первые свидетельства возможности создания тока нижнегибридными волнами были получены на линейной установке в 1979 г.[15]. Эксперименты на токамаках в первое время были посвящены доказательству самой возможности генерации тока, поскольку наличие вихревого электрического поля оставляло неясным, какая часть тока создается нижнегибридными волнами, а какая - вихревым электрическим полем. Здесь можно выделить результаты на Versator[l6], продемонстрировавшие различный вклад в создаваемый ток волнами, распространяющимися по или против индукционного тока, эксперименты на PLT [17], проводившиеся без вихревого поля, в которых ток, превышающий 100 кА создавался исключительно ВЧ волной, эксперименты на ALCATOR-C [18], в которых были достигнуты рекордные плотности плазмы. Сейчас уже нет никаких сомнений в том, что нижнегибридные волны позволяют заместить большую часть индукционного тока. Обзор многих экспериментов имеется в [19].
Ряд новых успехов был достигнут за последние годы. Так в [20] было показано в соответствии с теорией, что возможно увеличение эффективности генерации тока в PLT за счёт уменьшения ширины спектра по . Новый грилл, возбуждающий волны частотой f=2.45 ГГц и узким спектром на ASDEX повысил эффективность генерации тока до значений [21]. Эксперименты на JT-60 позволили поднять значения тока до 2 МА и добиться эффективности [ 22]. В этих экспериментах эффективность генерации тока фактически достигла теоретической.
Однако более детальное сопоставление экспериментальных результатов и теоретических предсказаний обнаруживает две широко известные проблемы, которые обычно называют предел по плотности и спектральный зазор.
Предел по плотности наблюдается практически во всех экспериментах по генерации тока. Вообще говоря, в соответствии с теорией [1,6] эффективность генерации тока n не должна зависеть от плотности плазмы. Однако многочисленные эксперименты
показывают, что при превышении плотности плазмы некоторого критического значения, эффективность резко падает, а генерация тока прекращается. Это обстоятельство могло бы быть очень неприятным с точки зрения перспектив использования нижнегибридных волн в токамаке реакторе. Однако позднее выяснилось, что предельная плотность может быть увеличена путем увеличения частоты вводимой волны [23]. Существующее теоретическое объяснение этих фактов [4,24] основано на предположении о том, что существует не абсолютный предел по плотности для эффективности генерации тока, а постепенное прекращение электронного тока из-за того, что при частотах немного превышающих нижнегибридную, мощность волны начинает передаваться ионам , а не электронам. Однако эксперименты при высоких частотах не согласуются с этой моделью. Оказывается, что генерация тока в этом случае прекращается при заметно меньших плотностях, когда взаимодействие волны с ионами еще принебрежимо мало. Среди попыток уточнить или дополнить эту простую схему можно отметить работы [25,26], в которых предполагается, что с ионами взаимодействует волна, образующаяся в результате параметрического распада волны накачки. Однако и сейчас врядли можно утверждать, что наличие предела по плотности имеет исчерпывающее теоретическое объяснение.
Проблема спектрального зазора [27] заключается в следующем. Обычно, волны, создаваемые с помощью грилла имеют малые значения и следовательно могут взаимодействовать лишь с очень быстрыми электронами. Количество таких электронов экспоненциально мало и они не могут переносить даже малой доли тока, наблюдаемого в экспериментах. Естественным объяснением является предположение об уширении спектра нижнегибридных волн в процессе их распространения в плазме токамака, однако механизм такого уширения до сих пор остается неясным.
В первую очередь нужно отметить, что спектр нижнегибридных волн изменяется в процессе распространения уже в линейном по полю волны приближении вследствии неоднородности плазмы. Наряду с этим классическим процессом, к которому мы вернемся несколько позже, было предложено свыше десяти других механизмов.
Так, в [28,29] была рассмотрена роль рассеяния волны на флуктуациях плотности. При прохождении волной турбулентного слоя на периферии плазмы, она может рассеиваться на локальных что приводит к увеличению
Другой механизм рассеяния рассмотрен в работах [30,31]. В них обнаружено, что отклонение магнитных поверхностей от тороидальной симметрии, которое может быть связано как с гофрировкой магнитного поля, так и с наличием магнитных островов вызывает рассеяние падающей волны и ведет таким образом к уширению спектра.
В работе [32] рассмотрены пондеромоторные эффекты, возникающие на периферии плазмы. Показано, что вследствии этих эффектов могут возникать высокие пространственные гармоники во вводимом спектре Np, которые взаимодействуя с медленными электронами могут заполнять зазор. Механизм требует накопления большой энергии волны и при этом сохранения достаточной пространственной когерентности.
Другое объяснение спектрального зазора, включающее нелинейные эффекты, которые могут уширять резонансное условие Ландау было предложено в работе [33]. При этом в качестве механизма, вызывающего диффузию нерезонансных электронов предлагается нарушение приближения случайных фаз и появление корреляции мод. вызванное наличием в плазме узких волновых пучков конечной ширины.
В случае, если нижнегибридные волны вызывают сильную анизоторопию функции распределения, плазма может оказаться неустойчивой по отношению к другим волнам, которые будут стремиться уменьшить эту анизотропию. Такая неустойчивость, которую называют "веерной" неустойчивостью [34] может приводить к возбуждению волн с малыми продольными фазовыми скоростями, заполняющих спектральный зазор[35].
Уже само по себе количество этих объяснений показывает сложность проблемы, а также отсутствие общепринятого решения. Действительно, каждый из предлагавшихся механизмов имеет свои недостатки и не один из них не может количественно объяснить разнообразные экспериментальные результаты. Вполне вероятно, что в реальном эксперименте одновременно действует несколько факторов, но в любом случае все они должны проявляться на фоне того изменения спектра, которое происходит в соответствии с волновым уравнением. Поэтому естественным выглядит в первую очередь выяснить насколько сильны эффекты, описываемые линейными электродинамическими уравнениями и есть ли необходимость искать другие объяснения.
Для решения задачи о распространении нижнегибридных волн в плазме в подавляющем большинстве работ используется метод лучевых траекторий (приближение геометрической оптики) [36,37]. Среди попыток найти более точное решение проблемы можно отметить две работы, в [38] численно решалось упрощенное волновое уравнение. Эта задача является чрезвычайно трудоемкой, однако результат лишь показал соответствие с геометрико-оптическим решением. В [39,40] предложена модификация метода лучевых траекторий на основе комплексного метода ВКБ [41], использующего геометрико- оптическое описание вдоль луча и сохраняющего волновое описание поперек. Хотя, как утверждается в работе, возникающая в первом порядке этого метода дифракция в некоторых случаях может оказаться довольно существенной, логичным представляется вначале детально исследовать решения нулевого порядка, которые соответствуют лучевым траекториям.
Первые исследования распространения нижнегибридных волн проводились в цилиндрическом приближении [42,43], вариации при этом строго ограничены. В работах [44,45] было показано, что существенное влияние на динамику изменения может оказывать полоидальная неоднородность системы, приводящая к несохранению полоидального волнового числа. В дальнейшим расчеты лучевых траекторий успешно использовались в качестве составной части кодов для моделирования генерации тока, и позволили объяснить многие экспериментальные результаты [46-48]. В то же время, вопрос о возможности заполнения спектрального зазора по этому механизму и условиях, от которых это зависит, до сих пор оставался открытым. Дело в том, что результаты вычислений оказывались сильно зависящими от числа лучей, используемых для описания спектра вводимой мощности, начальных условий и многочисленных параметров задачи [49,50]. Кроме того, численные расчеты большого числа лучевых траекторий требуют заметных затрат компьютерного времени. В результате, несмотря на многочисленные работы, посвященные вычислению лучевых траекторий нижнегибридных волн, общие закономерности их распространения и замедления до сих пор оставались неясными. Выяснению общих свойств лучевых траекторий нижнегибридных волн в плазме токамака и посвящена настоящая диссертация
Необходимо отметить, что эта проблема имеет и определений общетеоретический интерес. Дело в том, что динамика лучей в неоднородных средах может быть описана в гамильтоновском приближении [51]. Большой интерес к исследованию динамики гамильтоновских систем, возникший в последнее время, в первую очередь связан с открытием нового явления, называемого динамическим хаосом [52-54].
Впервые, проблема, решение которой привело впоследствии к обнаружению динамического хаоса была сформулирована ещё Пуанкаре и заключалась в следующем: как изменится качественная картина движения если на интегрируемую гамильтоновскую систему наложено слабое возмущение, делающее её неинтегрируемой. Лишь в 60-е годы был получен ответ на этот вопрос, который составил основу фундаментальной теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) [55-57]. В ней, упрощенно говоря, утверждается, что если возмущение мало, то движение качественно остается таким же как и в невозмущенном случае, за исключением принебрежимо малого набора начальных условий. Численные исследования поведения различных систем в случаях, когда возмущение достаточно велико и условие применимости теоремы КАМ нарушены показали, что картина движения при этом драматически изменяется [5S-6O]. Оказалось, что в этих условиях движение принимает стохастический характер; это явление и получило название динамического хаоса [61].
В настоящее время "хаос" является быстро развивающейся областью физики, его появление было обнаружено в самых разнообразных физических задачах. Однако отражение новых идей в рамках лучевой динамики находится пока лишь в начальной стадии. По существу дела имеется только один обзор [62], в котором распространение волн в слабонеоднородных средах в приближении геометрической оптики исследуется методами современней нелинейной теории, позволяющими описать явления различных нелинейных резонансов и хаоса. Однако, по сравнению с рассматривавшимися в работах [63-65] случаями распространения световых волн в волноводах и звуковых волн в океане исследуемая нами задача имеет очень существенную особенность. Она заключается в необычном законе дисперсии электростатических волн в плазме - соответствующий гамильтониан оказывается незнакоопределенным. Это означает, что механическая аналогия задачи соответствует движению частиц, одна из которых имеет отрицательную массу. Таким образом, волновая природа гамильтоновских уравнений вносит в рассматриваемом случае существенную специфику, что, как оказывается приводит к появлению ряда необычных свойств, невозможных в механических задачах.
В первой главе диссертации описан аналитический подход к задаче. В §1.1 записаны основные уравнения - уравнения лучевых траекторий с учетом реалистичной геометрии магнитных поверхностей, а также упомянута разработанная программа, осуществляющая их численное решение. В дальнейшем, эта программа используется для сопоставления с аналитическими результатами.
Первым шагом в аналитическом исследовании задачи является применение к ней теории возмущений. Малыми при этом считаются факторы, определяющие отклонение системы от цилиндрической симметрии - тороидальность и параметры, связанные с геометрическим отличием магнитных поверхностей от вложенных окружностей (шафрановский сдвиг, эллиптичность, треугольность и т.д.). Именно эти факторы могут быть ответственными за накапливающиеся изменения Использование теории возмущений позволяет проинтегрировать уравнения лучевых траекторий и получить явную формулу, описывающую изменение на пути до радиуса наибольшего проникновения волны в плазму. Применимость формулы, естественно, ограничена малыми значениями возмущения и она дает заметную погрешность для токамаков с большой вытянутостью магнитных поверхностей. Однако оказывается, что если скорректировать формулу таким образом, чтобы определяемое ей изменение импульса (роль импульса здесь играет полоидальное волновое число m) удовлетворяло условию сохранения фазового объема, то таким образом можно расширить диапазон допустимых возмущений, сделав её применимой практически для любого токамака. Однако, что ещё более существенно, на основе такой, сохраняющей фазовый объем формулы, может быть построено дискретное рекуррентное отображение, описывающее долговременное поведение траекторий в токамаке. В §1.3 предложен общий способ построения таких отображений для любых гамильтоновских систем и продемонстрирована эффективность его применения на примере задачи о диффузии силовых линий магнитного поля.
Вторая глава посвящена исследованию общих свойств нижнегибридных волн в токамаке с помощью дискретного отображения. По существу дела исследуется динамика довольно необычной гамильтоновской системы. В §2.1 очерчены границы фазового пространства задачи, при этом получено обобщение критерия Голанта-Стиикса для случая тороидальной плазмы. Во втором параграфе, на основе рассмотренного ранее подхода построено дискретное отображение, определяющее динамику распространения и замедления волны в токамаке. Отображение учитывает возможность линейной трансформации волны и описывает ее поведение как в медленной, так и в быстрой моде. Связь уравнений отображения с параметрами волны и плазмы задается с помощью двух функций (или, точнее, набора функций двух типов), одна из них определяет нелинейную частоту движения, а другая связана с величиной действующего возмущения. В §2.2 исследуется форма этих функций и их ассимптотическое поведение.
Важнейшей особенностью рассматриваемой системы оказывается слабая зависимость частоты невозмущенного движения от импульса (слабый шир) в области m>0 и стремление ее к ассимптотическому пределу при больших значениях m. Это обстоятельство приводит к возникновению системы резонансов, когда замедление волны, в приближении холодной плазмы, стремится к бесконечности, что приводит к ее затуханию независимо от температуры плазмы. Наличие резонансов связано с эффектом синхронизации частот и их проявлением является появление периодических аттракторов для траекторий в малом сечении токамака. Впервые резонансы такого типа были обнаружены в работе [66]. В эллиптической плазме эти резонансы являются доступными для слабозамедленных волн, а при отсутствии эллиптичности изменение , для волн о начальным m=0 в резонансных условиях оказывается конечным, но достаточным для затухания при характерных для современных токамаков температурах плазмы.
Движение в области m<=0 является стохастическим, причем порог по возмущению для возникновения динамического хаоса очень низок и зона хаотического движения должна присутствовать практически во всех токамаках. Возможность трансформации волн способствует увеличению хаоса. Соседство областей хаотического и регулярного движения приводит в резонансных условиях к возникновению перемежаемости, когда одна траектория включает в себя как регулярные, так и хаотические фрагменты. Исследование свойств траекторий в хаотическом и перемежаемом режимах приведено в §2.4.
Отображение, описывающее распространение нижнегибридных волн имеет ряд особенностей по сравнению с известными в классической механике. Это связано в первую очередь о гиперболической природой исходных волновых уравнений. В пределе т-оо оно сводится к известному отображению окружности [67] и может рассматриваться как обобщение этого отображения. В §2.5 проанализированы некоторые свойства этого отбражения, в частности, рассмотрено движение при больших m и показано, что в этой области оно всегда имеет регулярный характер. Таким образом, достаточное для затухания замедление волны за счет стохастической диффузии в фазовом пространстве оказывается невозможным. Кроме того, в этом параграфе исследуется движение на границе хаотической зоны и области непрозрачности при т<0. Показано, что в случае круглого сечения магнитных поверхностей в этой области имеется узкий слой регулярных инвариантных кривых, : которые, однако, полностью разрушаются при наличии даже очень малой эллиптичности.
В §2.6 представлена общая картина распространения волн в нижнегибридном диапазоне частот, показано место в ней периодических резонансов. На основании этой картины предложено I теоретическое объяснение проблем спектрального зазора и предела по плотности, трактующее их с единой точки зрения. Заполнение спектрального зазора предполагается возможным только в области параметров, соответствующей периодическим резонансам и возникающей перемежаемости, а предел по плотности связан с выходом из резонансного режима.
В третьей главе рассмотрен новый резонансный механизм замедления волн в плазме, который условно назван "полоидальный резонанс". Резонанс возникает при наличии полоидальной неоднородности магнитного поля и связан с особенностью траекторий вблизи параболической .линии волнового уравнения. В этом смысле он аналогичен нижнегибридному резонансу, однако его частота в 5-10 раз выше нижнегибридной.
В §3.2 показано, что прлоидальный резонанс связан с особенностями поля в волновом уравнении, степень особенности при этом как раз такова, чтобы обеспечивать конечное поглощение энергии независимо от температуры плазмы. Найден широкий класс соответствующих решений волнового уравнения.
Различные аспекты возможного практического применения полоидального резонанса рассмотрены в §3.3. Предложено его использование для дополнительного нагрева плазмы в токамаках с малым аспектным отношением. На примере проектируемого в ФТИ им. Иоффе токамака Глобус обсуждаются различные схемы реализации этого предложения.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Автор выносит на защиту:
Аналитический подход к задаче о лучевых траекториях нижне гибридных волн в тороидальной плазме; явную формулу, описывающую изменение вдоль траектории.
Дискретное отображение, позволяющее описать долговременную эволюцию , и выявить общие свойств нижнегибридных волн в тороидальной плазме.
Общую картину распространения и замедления нижнегибридных волн в тороидальной плазме, включающую явления динамического хаоса, периодические аттракторы и гамильтоновскую перемежаемость. Возможное объяснение на её основе проблем спектрального зазора и предела по плотности.
Новый резонансный механизм замедления волн в плазме токамака- "полоидальный резонанс". Исследование возможностей его применения для нагрева плазмы в токамаках с малым аспектным отношением
Работа выполнена в Физико-Техническом институте имени А.Ф.Иоффе. Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на международном совещании по генерации тока и нагреву плазмы в ИТЭР (Гархинг, 1989), международной конференции по сильным микроволнам в плазме (Суздаль, 1990), всесоюзных конференциях по PQ физике плазмы и управляемого термоядерного синтеза (Звенигород, 1991,1992), VII всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитных излучений с плазмой (Душанбе, 1991), 19 EPS конференции по управляемому синтезу и физике плазмы (Инсбрук, 1992), Российско-Английских совещаниях GULHAM-IOFFE symposium (Санкт-Петербург, 1991, Абингдон, 1992). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49], [68-73].